解答题
第 309 / 311 题
若平面上的三个力$\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$作用于一点，且处于平衡状态，已知$|\overrightarrow{F_{1}}|=1N$，$|\overrightarrow{F_{2}}|=\frac{\sqrt{6}\sqrt{2}}{2}N$，$\overrightarrow{F_{1}}$与$\overrightarrow{F_{2}}$的夹角为$45°$，求：
(1)$\overrightarrow{F_{3}}$的大小；
(2)$\overrightarrow{F_{3}}$与$\overrightarrow{F_{1}}$夹角的大小.
📖 解析
(1)由三力平衡得$\overrightarrow{F_{3}}=−(\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{2}})$，$|\overrightarrow{F_{3}}|=|\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{2}}|=\sqrt{|\overrightarrow{F_{1}}|^{2}+2\overrightarrow{F_{1}}⋅\overrightarrow{F_{2}}+|\overrightarrow{F_{2}}|^{2}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1$.
(2)解法一：利用$|\overrightarrow{F_{2}}|=|\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{3}}|$列方程解得$\cosθ=−\frac{\sqrt{3}}{2}$，$θ=\frac{5π}{6}$；解法二：$\cosθ=\frac{\overrightarrow{F_{1}}⋅\overrightarrow{F_{3}}}{|\overrightarrow{F_{1}}||\overrightarrow{F_{3}}|}=−\frac{\sqrt{3}}{2}$，$θ=\frac{5π}{6}$.