填空题
第 194 / 207 题
** (2024 全国甲卷理) 在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，$AB=4$，$PC=PD=3$，$\angle PCA=45^\circ$，则 $\triangle PBC$ 的面积为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
📖 解析
如图，取 $AB, CD$ 的中点分别为 $M, N$，
因为 $AB=4$，所以 $MN=4$，$AC=4\sqrt{2}$。又 $PC=PD=3$，过 $P$ 作 $PO \perp$ 平面 $ABCD$，则 $O \in MN$。连接 $PN, OA, OC$，则 $PN \perp CD$，$PN=\sqrt{5}$。令 $ON=x$，则 $PO^2=5-x^2$，$OA^2=4+(4-x)^2$，$PA^2=OA^2+PO^2=25-8x$。在 $\triangle PAC$ 中，因为 $\angle PCA=45^\circ$，所以 $\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得 $x=1$，则 $ON=1$，$PO=2$。过 $O$ 作 $OH \perp BC$，垂足为 $H$，连接 $PH$，则 $OH=2$，$PH=2\sqrt{2}$。所以 $S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times BC \times PH=\frac{1}{2}\times 4 \times 2=4$。故选 C。