解答题
第 131 / 188 题
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 $[m,n]$ 阶帕德逼近定义为：$R(x)=\dfrac{a_0+a_1x+\dots+a_mx^m}{b_0+b_1x+\dots+b_nx^n}$（$m,n\in\mathbb{N}$），且满足 $R(0)=f(0)$，$R'(0)=f'(0)$，$R''(0)=f''(0)$，…，$R^{(m+n)}(0)=f^{(m+n)}(0)$．已知函数 $f(x)=\ln(x+1)$ 在 $x=0$ 处的 $[1,1]$ 阶帕德逼近 $R(x)=\dfrac{ax}{1+bx}$．
（Ⅰ）求 $R(x)$；
（Ⅱ）比较 $f(x)$ 与 $R(x)$ 的大小；
（Ⅲ）若关于 $x$ 的方程 $x\ln x=t$ 有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$，求实数 $t$ 的取值范围，并证明：$x_1+x_2<\dfrac{3}{e}+\dfrac{t}{e}$．
📖 解析
（Ⅰ）$f(x)=\ln(x+1)$，$f'(x)=\frac1{x+1}$，$f''(x)=-\frac1{(x+1)^2}$。$\therefore f(0)=0$，$f'(0)=1$，$f''(0)=-1$。由帕德逼近定义得 $\begin{cases} f(0)=R(0) \\ f'(0)=R'(0) \\ f''(0)=R''(0) \end{cases}$，解得 $a=2,b=1$，$\therefore R(x)=\frac{2x}{x+2}$。……5分 （Ⅱ）设 $F(x)=f(x)-R(x)=\ln(x+1)-\frac{2x}{x+2}\,(x>-1)$。$F'(x)=\frac1{x+1}-\frac{4}{(x+2)^2}=\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}\ge0$ 恒成立，$\therefore F(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增。又 $F(0)=0$，$\therefore$ 当 $-1<x<0$ 时 $f(x)<R(x)$；当 $x=0$ 时 $f(x)=R(x)$；当 $x>0$ 时 $f(x)>R(x)$。……11分 （Ⅲ）$h(x)=x\ln x$，$h'(x)=\ln x+1$，$x=\frac1e$ 时 $h_{\min}=-\frac1e$。当 $x\to0^+$ 时 $h(x)\to0$，$h(1)=0$。故 $t\in(-\frac1e,0)$。……13分 不妨设 $0<x_1<\frac1e<x_2$。由（Ⅱ）帕德逼近放缩得 $\ln(ex_1)<\frac{2(ex_1-1)}{ex_1+1}$，$\ln(ex_2)>\frac{2(ex_2-1)}{ex_2+1}$，推得 $\varphi(x)=ex^2-(3+et)x-t$，其两根 $r_1,r_2$ 满足 $r_1+r_2=\frac{3+et}{e}=\frac3e+t$。由 $\varphi(x_1)>0$，$\varphi(x_2)<0$ 得 $x_1<r_1<x_2<r_2$，$\therefore x_1+x_2<r_1+r_2=\frac3e+t$。……17分