解答题
第 101 / 188 题
已知水平放置的 $\triangle ABC$ 的直观图 $\triangle A'B'C'$ 是边长为 $a$ 的正三角形，求原 $\triangle ABC$ 的面积。
📖 解析
直观图正三角形面积 $S' = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。由 $S_{\text{原}} = 2\sqrt{2} S' = 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{6}}{2}a^2$。也可设原三角形底边为 $a$，高为 $h$，由斜二测规则得高变为 $\frac{h}{2}$ 且倾斜45°，故直观图的高为 $\frac{h}{2}\sin45° = \frac{h}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}h}{4}$，而直观图正三角形高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$，从而 $\frac{\sqrt{2}h}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，解得 $h = \sqrt{6}a$，原面积 $\frac12 a \times \sqrt{6}a = \frac{\sqrt{6}}{2}a^2$。