解答题
第 129 / 188 题
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$，且过点 $M(-2,0)$．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（Ⅱ）已知 $A,B$ 为椭圆 $C$ 上异于点 $M$ 的两点，且 $MA\perp MB$，$MN\perp AB$，点 $N$ 为垂足，求证：直线 $AB$ 过定点 $D$；并判断是否存在定点 $E$，使得 $|NE|$ 为定值．若存在，求出定值；若不存在，请说明理由．
📖 解析
（Ⅰ）$\because e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt3}{2}$，$a=2$，$\therefore c=\sqrt3$，$b^2=a^2-c^2=4-3=1$。即椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。……4分（Ⅱ）设直线 $AB$ 的方程为 $x=ty+m$，设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立 $\begin{cases} \frac{x^2}{4}+y^2=1 \\ x=ty+m \end{cases}$ 得 $(t^2+4)y^2+2mty+m^2-4=0$。$\Delta>0$，$y_1+y_2=-\frac{2mt}{t^2+4}$，$y_1y_2=\frac{m^2-4}{t^2+4}$。由 $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ 化简得 $5m^2+16m+12=0$，$\therefore m=-\frac65$（舍 $m=-2$）。$\therefore$ 直线 $AB$ 过定点 $D(-\frac65,0)$。……12分设 $E$ 为 $MD$ 的中点，即 $E(-\frac85,0)$。若 $N$ 与 $D$ 不重合，则 $MD$ 是 ${\rm{Rt}}\triangle MND$ 的斜边，$\therefore |NE|=\frac12|MD|=\frac25$；若 $N$ 与 $D$ 重合，则 $|NE|=\frac12|MD|=\frac25$。综上所述，存在定点 $E(-\frac85,0)$，使得 $|NE|$ 为定值 $\frac25$。……15分