解答题
第 24 / 236 题
如图，在 $\triangle OAB$ 中，$C$ 为 $AB$ 上一点且 $AC:CB = 2:1$，$D$ 为 $OB$ 中点，$CD$ 与 $OA$ 交于点 $E$。设 $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$，$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$。（1）用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\overrightarrow{OC}$ 和 $\overrightarrow{CD}$；（2）求 $\overrightarrow{OE}$（用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示）。
📖 解析
（1）由定比分点：$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$。$D$ 为 $OB$ 中点，$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\vec{b}$，所以 $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\vec{b} - (\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}) = -\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}$。（2）设 $\overrightarrow{OE} = t\vec{a}$（$E$ 在 $OA$ 上），由 $C,E,D$ 共线，存在实数 $\lambda$ 使 $\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OC} + \lambda\overrightarrow{CD}$，即 $t\vec{a} = (\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}) + \lambda(-\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}) = (\frac{1}{3} - \frac{\lambda}{3})\vec{a} + (\frac{2}{3} - \frac{\lambda}{6})\vec{b}$。因为 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线，所以 $\frac{2}{3} - \frac{\lambda}{6}=0$ 解得 $\lambda=4$，代入得 $t = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = -1$，故 $\overrightarrow{OE} = -\vec{a}$。