填空题
第 126 / 188 题
双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦点，过右支上一点 $A$ 作双曲线 $C$ 的切线与 $x$ 轴交于点 $P$，设 $I$ 为 $\triangle AF_1F_2$ 的内心，且 $|PF_2|=\dfrac35|PF_1|$，$\angle F_1AF_2=\dfrac{2\pi}{3}$，则 $\dfrac{|AF_1|}{|AF_2|}=$ ______，$\dfrac{|PA|}{|PI|}=$ ______．
📖 解析
由角平分线定理可知 $\frac{|PF_2|}{|PF_1|}=\frac{|AF_2|}{|AF_1|}=\frac35$，$\therefore\frac{|AF_1|}{|AF_2|}=\frac53$。$|F_1F_2|=2c$，$\therefore|PF_1|=\frac54c$。由双曲线定义 $|AF_1|-|AF_2|=2a$，$\therefore|AF_1|=5a$，$|AF_2|=3a$。在 $\triangle AF_1F_2$ 中，由余弦定理得 $(2c)^2=(5a)^2+(3a)^2-2\times5a\times3a\times\cos\frac{2\pi}{3}$，$\therefore4c^2=49a^2$，$e=\frac72$。连接 $F_1I$，$\because I$ 为 $\triangle AF_1F_2$ 内心，$\therefore F_1I$ 平分 $\angle AF_1F_2$。在 $\triangle AF_1P$ 中，由角平分线定理得 $\frac{|AI|}{|IP|}=\frac{|AF_1|}{|PF_1|}=\frac{5a}{\frac54c}=\frac{4a}{c}=\frac{4}{e}=\frac87$。