解答题
第 178 / 236 题
如图，直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$\triangle ACD$ 是边长为 $2\sqrt3$ 的等边三角形，$BB_1=AB=3$，$\angle ACB=\dfrac{\pi}{3}$，棱 $AD$ 的中点为 $F$．
（Ⅰ）求证：$AD\perp$ 平面 $AA_1B_1B$；
（Ⅱ）矩形 $BCC_1B_1$ 以边 $BB_1$ 所在直线为旋转轴，逆时针旋转 $\theta$（$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$）至矩形 $BEE_1B_1$，求直线 $E_1F$ 与平面 $BEE_1B_1$ 所成角的正弦值的最大值．
📖 解析
（Ⅰ）在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理得 $AC\sin\angle ABC=AB\sin\angle ACB$，即 $\sin\angle ABC=1$，又 $0<\angle ABC<\pi$，$\therefore\angle ABC=\frac{\pi}{2}$，$\therefore BC\perp AB$。又 $\triangle ACD$ 为正三角形，$\therefore\angle CAD=\angle ACB$，$\therefore AD\parallel BC$，$\therefore AD\perp AB$。又 $AA_1\perp$ 平面 $ABCD$，$\therefore AD\perp AA_1$。又 $AA_1\cap AB=A$，$AA_1,AB\subset$ 平面 $AA_1B_1B$，$\therefore AD\perp$ 平面 $AA_1B_1B$。……8分 （Ⅱ）以 $B$ 为原点，$BC,BA,BB_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立空间直角坐标系，则 $A(0,-3,0)$，$B_1(0,0,3)$，$C(\sqrt3,0,0)$，$D(2\sqrt3,-3,0)$，$F(\sqrt3,-3,0)$，$E(\sqrt3\cos\theta,\sqrt3\sin\theta,0)$，$E_1(\sqrt3\cos\theta,\sqrt3\sin\theta,3)$。……10分 $\vec{FE_1}=(\sqrt3\cos\theta-\sqrt3,\sqrt3\sin\theta+3,3)$，$\vec{BB_1}=(0,0,3)$，$\vec{BE}=(\sqrt3\cos\theta,\sqrt3\sin\theta,0)$。平面 $BEE_1B_1$ 的法向量 $\vec n=(-\sin\theta,\cos\theta,0)$。……12分 $\sin\alpha=|\cos\langle\vec{FE_1},\vec n\rangle|=\frac{|\vec{FE_1}\cdot\vec n|}{|\vec{FE_1}|\cdot|\vec n|}=\frac{|\sqrt3\sin\theta+3\cos\theta|}{\sqrt{24-6\cos\theta+6\sqrt3\sin\theta}}$。令 $t=2-\cos(\theta+\frac{\pi}{3})$，$\frac32<t<2+\frac{\sqrt3}{2}$，则 $\sin\alpha=\sqrt{4-t-\frac3t}\le\sqrt{4-2\sqrt{t\cdot\frac3t}}=\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt3-1$，当且仅当 $t=\sqrt3$ 时取等。……16分 故直线 $E_1F$ 与平面 $BEE_1B_1$ 所成角的正弦值的最大值为 $\sqrt3-1$。……17分