如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle B=30^\circ$，$AC=3\,\text{cm}$，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1\,\text{cm/s}$ 的速度沿折线 $AD-DB$ 向终点 $B$ 运动．过点 $P$ 作 $PQ\parallel AB$，交 $AC$ 于点 $Q$，以 $PQ$ 为边作等边三角形 $PQE$，且点 $C$，$E$ 在 $PQ$ 同侧．设点 $P$ 的运动时间为 $t\,(\text{s})$（$t>0$），$\triangle PQE$ 与 $\triangle ABC$ 重合部分图形的面积为 $S\,(\text{cm}^2)$．
（1）当点 $P$ 在线段 $AD$ 上运动时，判断 $\triangle APQ$ 的形状（不必证明），并直接写出 $AQ$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）．
（2）当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，求 $t$ 的值．
（3）求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式，并写出自变量 $t$ 的取值范围．