单选题
第 34 / 188 题
在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，若 $a\cos B - b\cos A = \frac{1}{2}c$，则 $\triangle ABC$ 的形状为（ ）
📖 解析
利用余弦定理化简：$a\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2c}$，$b\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2c}$，则 $a\cos B - b\cos A = \frac{a^2 - b^2}{c} = \frac{1}{2}c$，所以 $a^2 - b^2 = \frac{1}{2}c^2$。又由射影定理 $c = a\cos B + b\cos A$，与已知联立可解得 $a\cos B = \frac{3}{4}c$，$b\cos A = \frac{1}{4}c$，进而可得 $a^2+b^2=c^2$，故为直角三角形。