解答题
第 28 / 223 题
设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个不共线的向量。已知 $\overrightarrow{AB} = 2\vec{a} + k\vec{b}$，$\overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$，$\overrightarrow{CD} = \vec{a} - 2\vec{b}$，若 $A, B, D$ 三点共线，求 $k$ 的值。
📖 解析
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (\vec{a}+\vec{b}) + (\vec{a}-2\vec{b}) = 2\vec{a} - \vec{b}$。$A,B,D$ 共线，则 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 共线，存在实数 $\lambda$ 使 $\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{BD}$，即 $2\vec{a} + k\vec{b} = \lambda(2\vec{a} - \vec{b}) = 2\lambda\vec{a} - \lambda\vec{b}$。所以 $2 = 2\lambda$，$k = -\lambda$，解得 $\lambda=1$，$k=-1$。