填空题
第 268 / 293 题
甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现$10:10$平的情况，先多得2分者为胜方．在$10:10$平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为$\frac{3}{4}$，乙发球时甲得分的概率为$\frac{1}{3}$，各球的结果相互独立，在双方$10:10$平后，甲先发球，则甲以$13:11$赢下此局的概率为_________．
📖 解析
甲以$13:11$赢下此局有两种情况：
(1)后四球依次为甲、乙、甲、甲：$P_1=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{8}$
(2)后四球依次为乙、甲、甲、甲：$P_2=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{48}$
由互斥事件加法公式得$P=P_1+P_2=\frac{7}{48}$.