解答题
第 253 / 293 题
** 正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥。
(1) 求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2) 若大棱锥的侧棱长为 12 cm，小棱锥的底面边长为 4 cm，求截得的棱台的侧面积与全面积。
📖 解析
(1) 设大棱锥高为 $H$，小棱锥高为 $\frac{1}{2}H$。
侧面积之比等于对应边长比的平方，即 $(\frac{1}{2})^2 : 1^2 = 1:4$。
故大棱锥 : 小棱锥 : 棱台 = $4 : 1 : (4-1) = 4:1:3$。
(2) 大棱锥侧棱 $l=12$，小棱锥底面边长 $a'=4$。
由相似比 $k=\frac{1}{2}$，得大棱锥底面边长 $a=8$。
大棱锥侧面积 $S_{大} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sqrt{12^2 - 4^2} = 24\sqrt{128} = 96\sqrt{2}$。
小棱锥侧面积 $S_{小} = \frac{1}{4} S_{大} = 24\sqrt{2}$。
棱台侧面积 $S_{台} = S_{大} - S_{小} = 72\sqrt{2}$。
棱台全面积 $S_{全} = S_{台} + S_{上底} + S_{下底} = 72\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4^2 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 8^2 = 72\sqrt{2} + 24\sqrt{3} + 96\sqrt{3} = 72\sqrt{2} + 120\sqrt{3}$。