填空题
第 244 / 293 题
** 已知三棱锥 $P-ABC$ 的高为 1，底面 $\triangle ABC$ 为等边三角形，$PA=PB=PC$，且 $P,A,B,C$ 都在体积为 $\frac{32\pi}{3}$ 的球 $O$ 的表面上，则该三棱锥的底面 $\triangle ABC$ 的边长为 ( )
A. $\sqrt{3}$ B. $2\sqrt{3}$ C. 3 D. 2
📖 解析
设球 $O$ 的半径为 $R$，由球的体积为 $\frac{32\pi}{3}$ 可得，$\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32\pi}{3}$，解得 $R=2$。因为三棱锥 $P-ABC$ 的高 $h$ 为 1，所以球心 $O$ 在三棱锥外。设点 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，则 $OO_1 \perp$ 平面 $ABC$。在 $Rt\triangle AOO_1$ 中，$AO_1=\sqrt{R^2-(R-h)^2}=\sqrt{3}$。因为 $\triangle ABC$ 为等边三角形，所以 $AO_1=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$，所以 $AB=3$。故选 C。