椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线被 $E$ 所截弦长为 $\sqrt{2}$。
(1) 求椭圆 $E$ 的离心率；
(2) $O$ 为坐标原点，给定 $G(t_0,0)(t_0\neq0)$；点 $A(x_0,y_0)(y_0\neq0)$ 在椭圆 $E$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $B$，直线 $AO$ 与 $GB$ 交于点 $P$。当 $A$ 在 $E$ 上运动时，记 $P$ 的轨迹为 $M$。
(i) 求轨迹 $M$ 的方程；
(ii) 轨迹 $M$ 是否有对称中心？当 $t_0$ 为何值时，$M$ 有对称中心？当 $M$ 有对称中心时，平移 $M$ 得到 $M'$，使原点 $O$ 为 $M'$ 的对称中心，判断 $M'$ 的曲线形状。