填空题
第 186 / 188 题
** 如图, 在底面边长为 8 cm, 高为 6 cm 的正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中, 若 $D$ 为棱 $A_1B_1$ 的中点, 则过 $BC$ 和 $D$ 的截面面积等于 ______ $\text{cm}^2$。
📖 解析
如图, 过点 $D$ 作 $DE \parallel B_1C_1$, 交 $A_1C_1$ 于点 $E$, 连接 $CE, BD$, 则四边形 $BCED$ 即为过 $BC$ 和点 $D$ 的截面。因为 $D$ 为棱 $A_1B_1$ 的中点, $DE \parallel B_1C_1$, 所以 $E$ 为 $A_1C_1$ 的中点, 所以 $DE$ 是 $\triangle A_1B_1C_1$ 的中位线, 所以 $DE=\frac{1}{2}B_1C_1=4 \text{cm}$, $BD=CE$。又因为 $B_1C_1 \parallel BC$, 所以 $DE \parallel BC$, 所以四边形 $BCED$ 是等腰梯形。过点 $D$ 作 $DF \perp BC$ 于点 $F$, 则 $DF = \sqrt{6^2 + \left(4\sqrt{3}\right)^2} = 4\sqrt{3} (\text{cm})$, 所以截面 $BCED$ 的面积 $S = \frac{1}{2} \times (4+8) \times 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} (\text{cm}^2)$。