如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 3$，$BC = 5$，$\angle BAC = 45^\circ$．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿边 $AC$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度向终点 $C$ 匀速运动．当点 $P$ 出发后，以 $AP$ 为边作正方形 $APDE$，使点 $D$ 和点 $B$ 始终在边 $AC$ 同侧．设点 $P$ 的运动时间为 $x$（$s$）（$x > 0$），正方形 $APDE$ 与 $\triangle ABC$ 重叠部分图形的面积为 $y$（平方单位）．
（1）$AC$ 的长为 ______．
（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．
（3）当正方形 $APDE$ 的对称中心与点 $B$ 重合时，直接写出 $y$ 的值．