填空题
第 175 / 236 题
已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d>0$，且满足 $a_1a_5=64$，$a_3=10$，记 $S_n$ 是数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_n=2b_n-1$．
（Ⅰ）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $c_n=a_n+b_n$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$．
📖 解析
（Ⅰ）由题意得 $\begin{cases} a_1(a_1+4d)=64 \\ a_1+2d=10 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} a_1=4 \\ d=3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a_1=16 \\ d=-3 \end{cases}$（舍）。$\therefore a_n=4+(n-1)\times3=3n+1$，即数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=3n+1$。……4分（Ⅱ）$\because S_n=2b_n-1$ ①，当 $n=1$ 时，$b_1=S_1=2b_1-1$，得 $b_1=1$；当 $n\ge2$ 时，$S_{n-1}=2b_{n-1}-1$ ②，由①-②得 $b_n=2b_{n-1}$，即 $\frac{b_n}{b_{n-1}}=2\,(n\ge2)$，$\therefore$ 数列 $\{b_n\}$ 是以 $1$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列，$b_n=2^{n-1}$。……8分 $\because c_n=a_n+b_n=3n+1+2^{n-1}$，$\therefore T_n=\frac{n[4+(3n+1)]}{2}+\frac{1\times(1-2^n)}{1-2}=\frac{3n^2+5n}{2}+2^n-1=2^n+\frac32n^2+\frac52n-1$。……13分