多选题
第 171 / 236 题
牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．已知函数 $f(x)=x^3+x-1$，$r$ 是函数 $y=f(x)$ 的一个零点，取 $x_0=1$，则下列说法正确的是（ ）
📖 解析
参考选择性必修第二册教材 P82-83，牛顿切线法——用导数方法求方程的近似解。$f(x)=x^3+x-1$，$f'(x)=3x^2+1$，$y=f(x)$ 在横坐标为 $x_{n-1}$ 的点处的切线斜率为 $3x_{n-1}^2+1$，切线方程为 $y-(x_{n-1}^3+x_{n-1}-1)=(3x_{n-1}^2+1)(x-x_{n-1})$。令 $y=0$，则 $x_n=\frac{2x_{n-1}^3+1}{3x_{n-1}^2+1}$，$\therefore$ C 正确。$f'(x)=3x^2+1>0$ 恒成立，$f(\frac23)=-\frac1{27}$，$f(1)=1$，$\therefore r\in(\frac23,1)$。$|x_n-r|=|\frac{(x_{n-1}-r)^2(2x_{n-1}+r)}{3x_{n-1}^2+1}|$，要证 $|x_n-r|<|x_{n-1}-r|^2$，只需证 $r< x_{n-1}(3x_{n-1}-2)+1$，$x_{n-1}>\frac23$ 时右式 $>1>r$，成立，$\therefore$ D 正确。故选 ACD。