填空题
第 166 / 236 题
棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，棱 $BC$ 的中点为 $E$，棱 $DD_1$ 的中点为 $F$，则三棱锥 $A-D_1EF$ 的外接球的表面积为（ ）
A. $\dfrac{7\pi}{2}$ B. $7\pi$ C. $14\pi$ D. $28\pi$
📖 解析
先找 $\triangle AFD_1$ 的外心 $O_1$，发现 $O_1$ 为线段 $AD_1$ 的四等分点（靠近 $A$），则球心 $O$ 在过 $O_1$ 且与平面 $AD_1F$ 垂直的直线上。利用几何法或者坐标法均可，坐标法具体做法如下：以 $D$ 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 $O_1(\frac32,0,\frac32)$，$A(2,0,0)$，$E(1,2,0)$，设球心 $O(\frac32,m,\frac32)$，由 $OA=OE$，求出 $m=1$，从而 $R^2=OA^2=\frac72$，$S=4\pi R^2=14\pi$，故选 C。